36-я Международная Математическая OлимпиадаКанада, Торонто, 1995 год

Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямые $XY$ и $BC$ пересекаются в точке $Z$. Пусть $P$ — точка на прямой $XY$, отличная от $Z$. Прямая $CP$ пересекает окружность с диаметром $AC$ в точках $C$ и $M$, а прямая $BP$ пересекает окружность с диаметром $BD$ в точках $B$ и $N$. Доказать, что прямые $AM$, $DN$ и $XY$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Удивлён что никто ещё не расписал такую легкую задачу.

Пусть $AM \cap DN=K$

Из за того что $XY$ радикальный ось двух окружностей, нужно доказать что точка $K$ лежит но радикальной оси. $K$ лежит на радикальной оси только тогда $KM\cdot KA=KN \cdot KD$. Значит нужно доказать что $AMND$ вписанный.

$P$ лежит Радикальной оси значит $MBCN$ вписанный ещё $ \angle AMC=\angle BND=90 \Rightarrow \angle NBC=\angle CMN=\alpha, \angle ADN=90-\alpha, \angle AMN=90+\alpha, \angle ADN+\angle AMN=180 \Rightarrow AMND $ вписанный и ч.т.д

Блин, я его час не могу решить а оказалось что она такая лёгкая. Спасибо дорогой Ерасыл что бы я без вас делал