35-я Международная Математическая Oлимпиада
Гонконг, Гонконг, 1994 год


Найти все упорядоченные пары $\left( m,n \right)$ целых положительных чисел таких, что $\dfrac{{{n}^{3}}+1}{mn-1}$ является целым числом.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2017-09-20 00:51:43.0 #

$$\dfrac{{{n}^{3}}+1}{mn-1} \in Z \Rightarrow$$

$$n^3+1=(mn-1)(kn-1) \Rightarrow$$

$$n^2=nkm-m-k \Rightarrow$$

$$n|m+k \Rightarrow$$

$$max\{m,k\}\ge \frac{n}{2}$$

Если оба $k,m>4$ :

$$nkm\ge mk=\frac{mk}{2}+\frac{mk}{2}>2m+2k \Rightarrow$$

$$\frac{nkm}{2}-m-k>0 \Rightarrow$$

$$n^2=nkm-m-k =\frac{nkm}{2}+(\frac{nkm}{2}-m-k)>\frac{nkm}{2}>n^2$$

$-$ Противоречие!

Осталось разобрать четыре частных случая : $k=1,2,3,4$ и $m=1,2,3,4$