18-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2014 год


Найдите все различные простые числа $p$, $q$, $r$ такие, что $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2019-01-09 14:28:45.0 #

$Ответ:p=5;q=3;r=19.$

Так как квадрат любого натурального числа при делении на $5$ дают остаток $0,1,4$. И четвёртая степень любого натурального числа при делении на $5$ дают остаток $0,1$; $3p^4$ при делении на $5$ дают остаток $0,3$. А $26+5q^4+4r^2$ при делении на $5$ дают остаток $0,1,2$. Тогда $3p^4$ делится на 5, тогда $p=5$. Тогда осталось решить уравнение $1849=5q^4+4r^2$. Если $q\geq5$, тогда $5q^4+4r^2>5q^4\geq5^5>1849$. Так как $q$ не может быть четным, $q=3$ и $4r^2=1444$ или $r=19$.