18-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Охрид, Македония, 2014 год

Найдите все различные простые числа $p$, $q$, $r$ такие, что $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.

Комментарий/решение

$Ответ:p=5;q=3;r=19.$

Так как квадрат любого натурального числа при делении на $5$ дают остаток $0,1,4$. И четвёртая степень любого натурального числа при делении на $5$ дают остаток $0,1$; $3p^4$ при делении на $5$ дают остаток $0,3$. А $26+5q^4+4r^2$ при делении на $5$ дают остаток $0,1,2$. Тогда $3p^4$ делится на 5, тогда $p=5$. Тогда осталось решить уравнение $1849=5q^4+4r^2$. Если $q\geq5$, тогда $5q^4+4r^2>5q^4\geq5^5>1849$. Так как $q$ не может быть четным, $q=3$ и $4r^2=1444$ или $r=19$.

по Б.О.О пусть $p,q,r>3$ тогда $3p^4\equiv 0\pmod{3}$$-$$5q^4\equiv 2\pmod{3}$$-$$4r^2\equiv 1\pmod{3}$ и в итоге должно получиться число которое делиться на $3$ поэтому одно из них или два $=3$ если два то в итоге не получится $26$ если $r$ то не получится по мод $3$ так что $q=3$ ,$3p^4-405-4r^2=26$,$3p^4-4r^2=431$,$3p^4\equiv 1,0 \pmod{5}$ $-$$ 4r^2\equiv 0,1,4$$=$ $431\equiv 1 \pmod{5}$ легко заметить $p=5$ тогда и тогда нетяжело подобрать что $r=19$