17-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Анталья, Турция, 2013 год

Докажите неравенство $\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16,$ для всех положительных действительных чисел $a$ и $b$ таких, что ${ab\geq 1}$.

Комментарий/решение

$$\left( a+2b+\frac{2}{a+1} \right) \left( b+2a+\frac{2}{b+1} \right) \geq 16$$

$$\forall x,y>0: (x-y)^2\geq 0 \Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$$

$$[1]\rightarrow \frac{a+1}{2}+\frac{2}{a+1}\geq 2\Rightarrow \frac{2}{a+1}\geq 2-\frac{a+1}{2} \Rightarrow a+2b+\frac{2}{a+1}\geq \frac{a+3}{2}+2b$$

$$[2]\rightarrow \frac{b+1}{2}+\frac{2}{b+1}\geq 2\Rightarrow \frac{2}{b+1}\geq 2-\frac{b+1}{2} \Rightarrow b+2a+\frac{2}{b+1}\geq \frac{b+3}{2}+2a$$

$$ [1]\cdot [2] \rightarrow \frac{(4a+b+3)(4b+a+3)}{4}\geq 16 \Rightarrow$$

$$(4a+b+3)(4b+a+3)\geq (5\sqrt{ab}+3)^2\geq (5+3)^2=64$$

Делаем $AM \geq GM$ для $a+b \geq 2$ слева и справа. Получаем что надо доказать что $(b+2+ \frac{2}{a+1})(a+2+ \frac{2}{b+1})\geq 16$. Давайте прибавим однерку к дроби, и получим: $((b+1)+\frac{a+3}{a+1})(\frac{b+3}{b+1}+(a+1)$, используем Неравенство Коши и осталось доказать что: $(\sqrt{(a+3)} + \sqrt{(b+3)})^2 \geq 16$, используем $AM \geq GM$ а потом заново Неравенство Коши и получаем нужное.

AM-GM және КШБ теңсіздігі бойынша:

$\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\ge $

$\ge \left(b+2\sqrt{ab}+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(a+2\sqrt{ab}+\dfrac{2}{b+1}\right)\ge $

$\ge \left(b+2+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(a+2+\dfrac{2}{b+1}\right)=$

$=(\frac{b+1}{2}+\frac{b}{2}+\frac{3}{2}+\frac{2}{a+1})(\frac{2}{b+1}+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}+\frac{a+1}{2})\ge $

$\ge (1+\sqrt{\frac{ab}{4}}+\frac{3}{2}+1)^2\ge (1+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1)^2=16$

Заметим что, $$\frac{2}{a+1}+\frac{a+1}{2}\geq 2$$ То есть: $$a+2b+\frac{2}{a+1}\geq 0,5a+2b+\frac{3}{2}$$

Значит: $$(a+2b+\frac{2}{a+1})(b+2a+\frac{2}{b+1}) \geq (0,5a+2b+\frac{3}{2})(0,5b+2a+\frac{3}{2})$$

Попробуем доказать последнее выражение больше или равно 16, а вообще, давайте умножим с обеих сторон на 4 для удобства: $$(!) \ (a+b+b+b+b+1+1+1)(b+a+a+a+1+1+1) \geq 64$$

Если в обеих скобках выполнить $AM \geq GM$ для 8 чисел и в конце использовать что $ab \geq 1$, задача решится.