16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2012 год


Найдите все натуральные числа $x$, $y$, $z$ и $t$ такие, что $2^x \cdot 3^y+5^z=7^t$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
2021-06-02 21:58:07.0 #

$5^z \equiv 7^t \equiv 1 \pmod 3, \rightarrow z=2a.$ Рассмотрим $2$ случая:

$1) x=1,$ $$2 \cdot 3^y+5^{2a}=7^t.$$

Рассмотрим по $mod$ $4, $ $2 \cdot 3^y \equiv 2, 5^{2a} \equiv 1$, то есть $7^t \equiv 3 \pmod 4, \Rightarrow t \in odd, t=2b+1.$

Теперь рассмотрим по модулю $8$, $2 \cdot 3^y \equiv 7-1=6, 3^y \equiv 3 \pmod 4, \Rightarrow y \in odd, y=2c+1$.

Мы знаем, что $2\cdot 3^{2c+1}-7^{2b+1}$ делится на 5, то есть $2 \cdot (-1)^c \cdot 3-(-1)^b \cdot 2$ делится на $5$, но, рассмотрев четности $c$ и $b$, выходим на противоречие.

$2) x \geq 2$, тогда $7^t \equiv 1 \pmod 4, \Rightarrow t \in even, t=2b,$ $$2^x3^y=(7^b-5^a)(7^b+5^a)$$ Заметим, что $7^b-5^a$ и $7^b+5^a$ не могут одновременно делиться на $3$, рассмотрим $2$ случая

$i) 7^b-5^a=3^y2^{\alpha},$

$7^b+5^a=2^{x-\alpha}$, очевидно, что $\alpha=1$, выходит, что $7^b=3^y+2^{x-2}$, откуда $x-2=2k$. Также имеем, что $5^a=2^{x-2}-3^y=2^{2k}-3^y, \Rightarrow a=2m. (5^m+2^k)(2^k-5^m)=3^y$, $\Rightarrow 2^k-5^m=1, 2^k+5^m=3^y, 2^{k+1}=3^y+1$, то есть $k+1=2n, (2^n-1)(2^n+1)=3^y, \Rightarrow n=1, k=1, y=1, x=4,$, но $m=0=a=z,$ хотя $z \in N$, противоречие

$ii) 7^b-5^a=2^{\alpha},$

$7^b+5^a=2^{x-\alpha}3^y$. Либо $\alpha$, либо $x-\alpha=1$. Пусть $\alpha=1$, тогда $7^b-5^a=2, 7^b=5^a+2, 7^b \equiv 7 \pmod {10}, \rightarrow b=4l+1$. Если $a \geq 2$, то $7^b \equiv 7 \equiv 2 \pmod {25}$, противоречие, рассмотрим случай $a=1$, находим ответы $x=3, y=1, z=2, t=2.$

Пусть теперь $x-\alpha=1$, (Дальше подсмотрел решение, не смог добить) тогда $7^b=2^{x-2}+3^y, \rightarrow x-2=2k, 7^b-5^a=2^{x-1}$, что делится на $4, \rightarrow b=2l, 49^l-5^a=2^{x-1}=2^{2k}*2 \equiv \pmod 8$, $\rightarrow a=2p, тогда (7^l-5^p)(7^l+5^p)=2^{x-1}$, отсюда выходит противоречие, так как $12$ не равен $2^{x-2}.$

Ответ: $x=3, y=1, z=2, t=2.$

  0
2021-06-02 20:44:05.0 #

о вы из англи

  0
2021-06-03 00:48:34.0 #

$Mopsichek$, $pokpokben$ никогда не сравниться с тобой!

  0
2021-06-03 11:18:47.0 #

ахахаха, на респе видели :(

  0
2021-06-03 11:39:02.0 #

Я имел ввиду что ты оформлял задачи полностью на английском. А так места на респа не отражает твои знания. Потому что на Олимпиадах рандома много: многое зависит на расположение задач и их темы; от каких книг они вдохновлялись и решал ли их ты.

  0
2021-06-03 11:59:31.0 #

аххаха, спасибо, я знал точку шутки, но просто решил написать, а так, я думаю ты прав