16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2012 год


Пусть окружности $k_1$ и $k_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, и пусть $t$ — общая касательная прямая к окружностям $k_1$ и $k_2$, которая касается их в точках $M$ и $N$ соответственно. Если $t \perp AM$ и $MN=2AM$, то чему равен угол $NMB$?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2021-06-02 18:53:23.0 #

Продлеваем $AB$ до пересечения с $MN$, пусть $C \in AB \cap MN$. Мы знаем, что $AB$ - радикальная ось для данных окружностей, то есть $CM^2=CN^2, \Rightarrow CM=CN$. По условию $2AM=MN, \Rightarrow AM=MC$, то есть $\angle NMB=45$, так как $MB$ - высота и биссектриса для $\triangle AMC $