14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЖудец Вылча, Румыния, 2010 год

Пусть $AL$ и $BK$ — биссектрисы неравнобедренного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к биссектрисе $BK$ пересекает прямую $AL$ в точке $M$. Точка $N$ лежит на прямой $BK$ так, что $LN$ параллельна $MK$. Докажите, что $LN=NA$.

Комментарий/решение

Опишем около треугольника $ABK$ окружность $\omega$, так как $AL$ биссектриса и $EM$ серединный перпендикуляр , тогда $M \in \omega$ , значит $\angle ABK = \angle AMK = \angle ALN$ откуда $ ABLN$ вписанный $\angle NAL = \angle NBL = \angle ABN = \angle ALN $ то есть $LN=NA$

Лемма

Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса угла противолежащей к ней пересекаются на описанной окружности треугольника

К задаче, из леммы получаем что $ABKM$-вписанный, заметим что $\angle ABK=\angle AMK=\angle ALN$, отсюда $ABLN$-вписанный и так как $BN$ биссектриса то $AN$=$NL$