14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЖудец Вылча, Румыния, 2010 год

Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ одновременно удовлетворяют уравнениям $abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.$ Докажите, что $a + b + c + d \not = 0$.

Комментарий/решение

Будем идти от противного, пусть $a+b+c+d=0$. Если просуммировать все уравнения выйдет что $abc+bcd+acd+abd=0$ (1). А если подставить $d=-(a+b+c)$ в (1), тогда $(a+b)(b+c)(a+c)=0$. Рассмотрим $a+b=0$(для остальных аналогично). $2+3=(bcd-a)+(cda-b)=(a+b)(cd-1)=0$

но это невозможно. Противоречие.