12-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Влёра, Албания, 2008 год


Найдите все тройки простых чисел $ p,q,r$, для которых верно равенство $ \dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2018-08-13 11:20:47.0 #

Ответ :$p=7;q=3;r=2$

Преобразуем выражение $$\dfrac {p (r+1)-4q}{q (r+1)}=1$$ Раскроем по пропорции и получим $p (r+1)= q (r+5) $ Учитывая, что искомые числа простые, имеем $p=r+5;q=r+1$ Если $r $ нечетное, то $p,q $ составные. Отсюда $r=2$- так как 2 это единственное четное простое число