10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровКишинёв, Молдавия, 2006 год

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) угол $BAC$ меньше $60^{\circ}$. На стороне $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ такие, что $EB=ED$ и $\angle{ABD} = \angle{CBE}$. Внутренние биссектрисы углов $\angle{BDC}$ и $\angle{ACB}$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ COD$.

Комментарий/решение

Из условия $\angle ABD+\angle DBE + \angle CBE = \angle DBE + 2\angle CBE $ . С одной стороны $\angle BAC = 180^{\circ} - 2( \angle DBE + 2\angle CBE)$ так как $AB=AC$ с другой , так как $EB=ED$ то $\angle BAC = 180^{\circ}-\angle ADB - \angle ABD = \angle DBE - \angle CBE $ , откуда $\angle ABE = 60^{\circ}$ . При этом условный треугольник существует $BAC<60^{\circ}$ .

Тогда $\angle COD = 180^{\circ} - \dfrac{\angle DBE + \angle ACB}{2} = 180^{\circ} - \dfrac{\angle DBE + 60^{\circ} + \angle CBE}{2} = 180^{\circ} - \dfrac{\angle ABE + 60^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$

В середине решения написано что$ \angle BAC=\angle DBE - \angle CBE$, но это не так, т.к. $\angle CBE $ больше $\angle$ DBE, а угол отрицательным не может быть.

к примеру треугольник с углами $\angle BAC=50^{\circ} , \ \angle ABC = \angle ACB = 65^{\circ}, \ \angle DBE = \angle BDE = 55^{\circ} , \ \angle CBE = \angle ABD = 5^{\circ} $