8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Нови-Сад, Югославия, 2004 год

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что оба числа $3x + 4y$ и $4x + 3y$ одновременно являются полными квадратами. Докажите, что каждое из чисел $x$ и $y$ делится на $7$.

Комментарий/решение

Пусть $4x+3y=a^2$ и $3x+4y=b^2$. Сложив данные равенства, получим:

$7(x+y)=a^2+b^2$

$a^2+b^2 \, \vdots \, 7$

Заметим, что $n^2 \equiv \{0,1,2,4\} \pmod{7}$, тогда $a^2 \, \vdots \, 7$, $b^2 \, \vdots \, 7$, откуда $a^2 \, \vdots \, 49$, $b^2 \, \vdots \, 49$, значит, $4x+3y \, \vdots \, 49$, $3x+4y \, \vdots \, 49$.

Складывая $4x+3y \, \vdots \, 49$ и $3x+4y \, \vdots \, 49$, получим, $x+y \, \vdots \, 7$, а вычитая, получим, $x-y \, \vdots \, 7$.

Складывая $x+y \, \vdots \, 7$ и $x-y \, \vdots \, 7$, получим, $x \, \vdots \, 7$, а вычитая, получим, $y \, \vdots \, 7$.

можно было просто сказать что 7 это число вида 4k+3 и простое и если сумма двух квадратов делится на это то оба числа тоже делятся а если квадрат делится на простое то и искомое число которое ставилось в квадрат также делится