7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год


Пусть $x, y, z > -1$. Докажите неравенство $ \dfrac{1+x^2}{1+y+z^2} + \dfrac{1+y^2}{1+z+x^2} + \dfrac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. $
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-09-08 17:56:03.0 #

$$ (x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2-2x+1 \geq 0 \Rightarrow x^2+1 \geq 2x \Rightarrow \frac{x^2+1}{2} \geq x$$

$$ \frac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq \frac{2(1+z^2)}{(x^2+1)+2(y^2+1)} $$

$$ 1+z^2=c , \quad 1+x^2=a \quad 1+y^2=b \Rightarrow$$

$$ \frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b} \geq 2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \geq 1$$

$$\left\{ \begin{gathered} a + 2b = x \\ b + 2c = y \\ c + 2a = z. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow a=\frac{x-2y+4z}{9},b=\frac{y-2z+4x}{9},c=\frac{z-2x+4y}{9}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{c}{a+2b}+\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}=$$

$$=\frac{x-2y+4z}{9x}+\frac{y-2z+4x}{9y}+\frac{z-2x+4y}{9z}=$$

$$\frac{1}{9}\cdot \left( \frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\cdot \left( \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\geq$$ $$\geq \frac{1}{3}\cdot \sqrt[3]{ \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{y}{z}}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\cdot \sqrt[3]{ \frac{x}{z}\cdot \frac{z}{y}\cdot \frac{y}{x}}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=1$$