7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Измир, Турция, 2003 год

Пусть $n$ — натуральное число. Число $A$ состоит из $2n$ цифр, все 4; число $B$ состоит из $n$ цифр, все 8. Докажите, что $A+2B+4$ — точный квадрат.

Комментарий/решение

$$А=\underbrace{4444...4}_{2n}$$

$$ B=\underbrace{8888...8}_{n} $$

$$ A+2B+4=\underbrace{4444...4}_{2n}+2 (\underbrace{8888...8}_{n})+4=4×10^{n-1}+4×10^{n-2}+. .+4+2×8×10^{2n}+...+2×8×10_{n-1}+...+8×2+4$$

$$\underbrace{4444...4}_{n}=t\Rightarrow \underbrace{8888...8}_{n} =2t\Rightarrow A+2B+4=t^2+4t+4=(t+2)^2$$

А почему $A=t^2$? Это же неверно.

$A=4444...44=4 \cdot 1111...11=4 \cdot \frac{9999...9}{9}=4 \cdot \frac{10^{2n}-1}{9},$ аналогично $2B=16 \cdot \frac{10^n-1}{9}$, тогда

$A+2B+4=(\frac{2 \cdot 10^n+4}{3})^2$