4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год


Пусть $x$, $y$ положительные действительные числа, для которых справедливо равенство $x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. $ Докажите, что $x + y = 10$. ( Romania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
2017-03-17 16:22:56.0 #

$$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\Rightarrow$$ $$(x+y)(2(x+y)^2-3xy)+30xy=2000\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x+y=V \\ xy=t \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 2V^3-3tV+30t-2000=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2(V^3-10^3)-3t(V-10)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (V-10)(2V^2+20V+200-3t)=0 \Rightarrow V=10 \Rightarrow x+y=10$$