3-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Пловдив, Болгария, 1999 год

Пусть $A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ при всех целых неотрицательных $n$. Найдите наибольший общий делитель чисел $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_{1999}$. ( Romania )

Комментарий/решение

Странная задача.

Рассмотрим $A_{0}$. Это 35, который имеет делители 7 и 5, начиная с этой поры, можно утверждать что НОД всех этих $A_{i}$ это 1, 5, 7 или 35.

Рассмотрим $mod$ 7, и легко удостоверимся что все эти $A_{i}$ делятся на 7.

А теперь просто возьмем $A_{1}$.Он не делится на 5. Значит НОД всех $A_{i}$ это 7.