Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 9 класс

Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, удовлетворяющие условиям $a+b\ne 0$, $b+c\ne 0$, $a+c\ne 0$. Докажите, что значение выражения $$ \left( {1 + \frac{c} {{a + b}}} \right)\left( {1 + \frac{a} {{b + c}}} \right)\left( {1 + \frac{b} {{a + c}}} \right) - \frac{{a^3 + b^3 + c^3 }} {{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}} $$ не зависит от значений $a$, $b$ и $c$.

Комментарий/решение

$ \dfrac{(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)}{(a+b)(b+c)(a+c)} = \dfrac{3(a+b)(b+c)(a+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)} = 3 $