Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2012 год

Можно ли число 2012 представить в виде суммы квадратов трех целых чисел?

Комментарий/решение

Ответ: Нельзя. По теореме Лагранжа про сумму трех квадратов мы знаем что любое натуральное кроме чисел вида $4^m(8n+7)$ представимо в виде суммы трех квадратов.

А число 2012 подлежит этому виду, по этому оно не представимо.

$4^m$ а не $4m$

Вряд ли 7-классник знает такую формулу, братан лучше решать проще для олимпов для мелких

$$x^2+y^2+z^2=2012$$

Рассмотрим $mod$ $4$, поймем что все три квадрата делятся на $4.$ Сделаем замену $x=2a, ...$ и поделим слева и справа на 4.

$$a^2+b^2+c^2=503$$

Осталось заметить что по $mod$ $4$ все наши три товарища нечётные числа (ибо оставляют $a, b, c \equiv 1$ $(mod 4))$. Рассмотрим $mod$ $8$, наши товарищи оставят по $1$ и в сумме их остаток равняется $3$ а у 503 остаток $7$, не сходится.

${\color{Green} Such\: numbers\: do\: not\: exist!}$