Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 9 класс

Докажите, что $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \ldots - \dfrac{1}{{999}} + \dfrac{1}{{1000}} < \dfrac{2}{5}.$

Комментарий/решение

Разобьем сумму последовательно на пары, начиная со 2 числа, выделив их скобками. В каждой скобке будет отрицательное число и сумма пяти первых чисел будет меньше 0,4.

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-...-\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}=\frac{1}{2}-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-...-(\frac{1}{999}-\frac{1}{1000})< \frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{30}=\frac{23}{60}< \frac{24}{60}=\frac{4}{5}.$