Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 8 класс

Известно, что $p$ и $p^2 + 2$ — простые числа. Докажите, что $p^3 + 2$ — простое число.

Комментарий/решение

Доказательство. Остаток квадрата любого числа на 3 равен единице, кроме числа 3. Логично,что $p^2+2$ делится на три. Так как простое число делится на себя и на единицу, а $p^2+2$ делится на 3, делаем вывод, что $p^2+2$ равна 3,но в таком случае $ p=1$,но 1 не является простым. В таком случае $ p^2$ делится на три. То есть $p=3$. Проверка : $p=3$; $p^2+2=11$; $p^3+2=29$-все простые, что и требовалось доказать

любое простое число $p>3$ дает при делении на 6 остаток 1 или 5 (-1). Отсюда следует, что $p^2 + 2$ при делении на 6 дает остаток 3.

$p^2 + 2$ делится на 3,

$$p^2 + 2 = 3$$

$$p = 1 , 1 - 'не простое число' $$

Противоречие.

$$p \leq 3$$

$$p \ne 2, 'так как' p^2 + 2 = 4$$

$$p=3$$

$$p^2+2=11, p^3+2=29$$