Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год

Вычислите: $\cos 4{}^\circ \cdot \cos 8{}^\circ \cdot \cos 12{}^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 84{}^\circ \cdot \cos 88{}^\circ $.

Комментарий/решение

Выражение данное в задаче обозначим через $A$. Используя формулу $\cos x \cdot \cos (60-x) \cdot \cos (60+x)=\frac{\cos 3x}{4}$, получим

$$A=[\cos 4 \cdot \cos 56 \cdot \cos 64] \cdot [\cos 8\cos 52\cos 68] \cdot \ldots \cdot [\cos 28 \cdot \cos 32 \cdot \cos 88] \cdot \cos 60=$$

$$=\frac{\cos 12}{4} \cdot \frac{\cos 24}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{\cos 84}{4} \cdot \cos 60=$$

$$=\frac{1}{4^7} \cdot \frac{2 \sin 12 \cdot \cos 12 \cdot \cos 24 \cdot \cos 48 \cdot \cos 84}{2 \sin 12} \cdot \frac{2 \sin 36 \cdot \cos 72 \cdot \cos 24}{2 \sin 72} \cdot \cos 60=$$

$$=\frac{1}{4^7} \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{8} \cdot \cos 60=\frac{1}{4^7} \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}=4^{-11}=2^{-22}$$