Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2009 год

Действительные числа $x,y$ удовлетворяют соотношениям: ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=4$ и ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}}=8$. Найдите значение выражения ${{x}^{6}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+{{y}^{6}}$.

Комментарий/решение

$x^2+y^2=4-xy$, $(x^2+y^2)^2=(4-xy)^2$, $x^4+x^2y^2+y^4=16-8xy=8$, Значит $xy=1$ Тогда $x^2+y^2=3$; $x^4+y^4=7$ Значит $(x^2+y^2)(x^4+y^4)=x^6+y^6+x^2y^2(x^2+y^2)=x^6+y^6+3=3×7$ И мы получаем, что $x^6+y^6=18$ Тогда $x^6+1+y^6=19$ Значит: $$x^6+x^3y^3+y^6=19$$