Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2009 год

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}$, если известно, что $abc=1$.

Комментарий/решение

$$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}=\mathbb{A}$$

$$abc=1 \Rightarrow a=\frac{1}{bc} \Rightarrow $$

$$\mathbb{A}=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+\frac{1}{a}}+\frac{abc}{abc+c+ac}\Rightarrow$$

$$\mathbb{A}=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{1+b+ab}+\frac{abc}{c(ab+1+a)}=\frac{ab+a+1}{ab+b+1}=1$$