Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2008 год

Докажите, что двучлен $3{{x}^{4}}+1$ есть сумма трех квадратов с целыми коэффициентами.

Комментарий/решение

Если рассмотреть многочлены

$(ax^2+bx+c)^2+(nx^2+mx+e)^2 + (fx^2+gx+h)^2 = 3x^4+1$

То перейдем к системе

$a^2+f^2+n^2=3 $

$ab+fg+mn=0$

$ac+fh+en= \dfrac{-(b^2+m^2+g^2)}{2}$

$bc+gh+em = 0$

$e^2+c^2+h^2=1$

$a,f,n,e,c,n$ целые , и $c+h+e<0$ откуда сразу следует решение

$a=f=n=1 , \ \ h=e=0 , \ \ c=-1 , b=0 , \ \ g=-1 , \ \ \ m=1 $

$3x^4+1 = (x^2-1)^2+(x^2+x)^2 + (x^2-x)^2$