Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2008 год

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он — рыцарь!», либо «Он — лжец!». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Комментарий/решение

Ответ:нет, не может

Решение: для начала рассмотрим несколько пар. Пусть в первой паре два рыцаря. В таком случае получим две фразы " он рыцарь". Теперь пусть в паре рыцарь и лжец. В таком случае получим две фразы "он лжец" . Если взять в паре двух лжецов, то получим две фразы "он рыцарь". Таким образом, видим , что в любой паре будет две одинаковые фразы. А это значит, что количество пар с одинаковыми людьми(рыцарь-рыцарь и лжец-лжец)и разноименных пар должно быть одинаковым. Но количество пар нечётно, то есть 617, значит , такое разделение невозможно