Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle A=90^\circ $, а вершина $C$ удалена от прямых $AB$ и $AD$ на расстояния, равные длинам отрезков $AB$ и $AD$, соответственно. Докажите, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

Комментарий/решение

Треугольники $\Delta ABC , \Delta ADC $ равнобедренные , откуда $\angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ}$ . Около четырёхугольника $ABCD$ Можно описать окружность , откуда $\angle BDC = \angle BAC $ откуда и вытекает что диагонали перпендикулярны .

Тут можно решить координатным методом

1)Известно: Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0

2)Пусть точка $A$ - начало координат, свяжем систему координат с лучами угла $\angle A$

3)Тогда $A(0;0);B(0;x)$

4)Пусть проекция точки $C$ на прямую $AB$ будет точка $H_1=(0;x+y)$.Пусть проекция точки $C$ на прямую $AD$ будет точка $H_2$

5)Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ по условию равно длине отрезка $AB$, то есть равно $x$. Отсюда координата точки

$$C(|AB|;Y_{H_1})\Rightarrow C(x;x+y)$$

6)На всякий случай докажем, что $AH_1CH_2-$ прямоугольник. Это следует из того, что все углы равны $90^\circ$ - $\angle A$ - по условию, $\angle AH_1C$ и $\angle AH_1C$ - как проекции к прямой , оставшийся угол - по сумме углов в четырехугольнике

7) Из (6) - $AH_1 = CH_2 = x+y$. При этом по условию $$CH_2 = AD\Rightarrow AD = x+y\Rightarrow D(x+y;0)$$

8)$\overrightarrow{BD} = (x+y;-x);\overrightarrow{AC} = (x;x+y)$

9)Рассчитаем скалярное произведение

$$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC} = (x+y)\cdot x + (-x)\cdot (x+y) = 0$$

Получается, что диагонали перпендикулярны