Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

Возрастающая арифметическая прогрессия содержит два натуральных числа и квадрат меньшего из них. Докажите, что она содержит и квадрат второго числа.

Комментарий/решение

1) Примем число $a\in \mathbb N$ первым членом данной прогрессии. Пусть $b\in \mathbb N$ и $b>a$. Тогда $b = a + k\cdot \Delta$,

где $\Delta - $ разность этой арифметической прогрессии

$k\in\mathbb N$

2) Число $a^2 - $ тоже член этой же прогрессии, поэтому представим в виде $a^2 = a + m\cdot \Delta$

3) Рассмотрим разность $b^2-a^2$

$$b^2-a^2 = (b-a)\cdot (b+a)\rightarrow b^2=a^2 + (b-a)\cdot (b+a)$$

$$b^2=a + m\cdot \Delta + (b-a)\cdot (b+a)$$

$$b^2=a + m\cdot \Delta + (a + k\cdot \Delta-a)\cdot (b+a)$$

$$b^2=a + m\cdot \Delta + (b+a)\cdot k\cdot \Delta=a+(m+ak+bk)\cdot\Delta;\;\;\;\;(m+ak+bk)\in\mathbb N$$

Таким образом, число $b^2 - $ является членом данной арифметической прогрессии