Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс

Найдите все натуральные числа, представимые в виде $\dfrac{mn+1}{m+n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа.

Комментарий/решение

ответ:$1$

решение:Выделим целую часть$$\dfrac{mn+1}{m+n}=n-\dfrac{n^2-1}{m+n}$$ Пусть $k=\dfrac{n^2-1}{m+n};k\in N$ . Тогда $n^2-1=k(m+n)$ откуда $n^2-kn-(1+km)=0$. Мы знаем , что $n$ натуральное. Чтобы оно было таким , необходимо (но не достаточно), чтобы дискриминант этого уравнения был полным квадратом. Иначе говоря, чтобы дискриминант дискриминанта был равен нулю.$$D_1=k^2+4km+4;D_2=16(m^2-1)=0$$ Учитывая натуральность $m$, имеем что $m=1$. Проверим , целое ли число получится при $m=1$. $$\dfrac{mn+1}{m+n}=\dfrac{n+1}{1+n}=1\in N$$