Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2006 год

Доказать, что если $3a+4b+5c$ делится на 11 при некоторых целых $a,b$ и $c$, то $9a+b+4c$ делится на 11 при тех же значениях $a,b$ и $c$.

Комментарий/решение

4*(9a+b+4c)-(3a+4b+5c)=33a+11c=11(3a+c) делится на 11,3a+4b+5c делится на 11,то

9a+b+4c делится на 11

3*(3a+4b+5c) - (9a+b+4c) = 11b+11c = 11(b+c).

Т.к по усл. 3a+4b+5c и вследствии 3*(3a+4b+5c) делится на 11, разность делится на 11, то и уменьшаемое будет делится на 11.

Ч.т.д

.