Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 9 класс

Дана трапеции $ABCD$ с основанием $AD$. Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов $A$ и $B$ через $M$, и точку пересечения биссектрисы внешних углов $C$ и $D$ через $N$. Доказать что длина отрезка $MN$ равна половине периметра трапеции.

Комментарий/решение

$$ BC \parallel AD \Rightarrow \angle ABM=\beta \Rightarrow \angle AEM=\beta \Rightarrow \triangle ABE: AB =AE$$

$$ \angle DCN= \gamma \Rightarrow \angle DKN= \gamma \Rightarrow \triangle DKC: DK=DC$$

$$\square EBCK: MN= \frac{EK+BC}{2}=\frac{AE+AD+DK+BC}{2}=$$

$$=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}=\frac{\mathbb{P}}{2}\Rightarrow MN=\frac{\mathbb{P}}{2} $$