Городская Жаутыковская олимпиада, 10 класс, 2001 год

В треугольнике $ABC$ $\angle A=3\angle C$. Точка $D$ на стороне $BC$ обладает тем свойством, что $\angle ADC=2\angle C$. Докажите, что $AB+AD=BC$.

Комментарий/решение

Продлим за точку $A$ прямую $AB$ так что бы $AD'=AD$ , получим равнобедренный треугольник $D'AD$ , тогда угол $\angle D'AC= 180^{\circ}-3C=\angle DAC = 180^{\circ}-2C-C=180^{\circ}-3C$ то есть $AC$ биссектриса угла $\angle D'AD$ , $\Delta D'AC = \Delta DAC$ , тогда $\angle ACD'= \angle ACD$ , то есть треугольник $D'BC$ равнобедренный , значит $AB+AD'=AB+AD=BC$.