Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 8 класс

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $60^\circ $, а меньшее основание $BC$ равно 5. Найдите длину боковой стороны $CD$, если площадь трапеции равна $(AB\cdot CD+BC \cdot AD)/2$

Комментарий/решение

Возможно имелось в виду $AD \cdot BC + AB \cdot CD=2S_{ABCD}$ , можно заметить что , по теореме Птолемея $BD \cdot AC \cdot sin 90^{\circ} = AD \cdot BC + AB \cdot CD=2S_{ABCD}$ , то есть около трапеций можно описать окружность , значит это равнобедренная трапеция , $(CD+5) \cdot CD \cdot sin60^{\circ} = 5 \cdot (CD+5) + CD^2 $ или $CD=5+\sqrt{75}$