Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2012 год

На координатной плоскости $xOy$ нарисована парабола $y={{x}^{2}}$. Пусть $A$, $B$ и $C$ различные точки этой параболы. Определим точку ${{A}_{1}}$, как точку пересечения прямой $BC$ и оси $Oy$. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Доказать, что сумма расстоянии от точек $A$, $B$ и $C$ до оси $Ox$ больше суммы расстоянии от точек ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ до оси $Ox$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$A(x_{1},x_{1}^2),B(x_{2},x_{2}^2),C(x_{3},x_{3}^2)$ , тогда координаты $A_{1}(0,-x_{2}x_{3}),B_{1}(0,-x_{1}x_{3}),C_{1}(0,-x_{1}x_{2})$. Сумма расстояний в неравенстве запишется как $x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 > x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}$ верность того вытекает из неравенство Коши Шварца.