Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2008 год

Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$, $M$ — середина отрезка $AE$ и $N$ — середина отрезка $CD$. Известно, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника $MBCN$ можно описать окружность.

Комментарий/решение

Если около описанного четырёхугольника $MBCN$ , следует что можно описать окружность около $ABCD$ , то верно и обратное . Положим что около четырехугольников $BMCN , BCDA$ можно описать окружность. Из этого следует следует что $ \angle BMN = \angle BAD $ , значит требуется доказать что $ \Delta BMN$ и $ \Delta ABD$ (2) подобны , так как $BD$ биссектриса то $\Delta BCD$ и $ \Delta ABE$ подобны. Откуда $\frac{BM}{BN} = \frac{AB}{BD} $ , $BM , BN$ Медианы соответствующих треугольников . Значит треугольники (2) действительно подобны.