31-я Балканская математическая олимпиадаПлевен, Болгария, 2014 год

Натуральное число $n$ назовем специальным, если существуют натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$, удовлетворяющие равенству $n=\dfrac{{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}+2{{d}^{3}}}$, Докажите, что:
a) существует бесконечно много специальных чисел;
b) 2014 не специальное число.

Комментарий/решение

$Решение$:

$a)$ Подставляя $a=k*c$ и $b=k*d$ где $k \in \mathbb N$

У нас получится $\frac{a^3+2*b^3}{c^3+2*d^3}=k^3$

$b)$ Предположим что $2014$ $специальное$ $число$

Тогда $2014*(c^3+2*d^3)=a^3+2*b^3$

Рассмотрим $ \pmod {19}$ $\Rightarrow$ $a^3 \equiv \pm 1 , \pm 7,\pm 8$,$0$

$a^3+2*b^3 \vdots 19$ $\Longleftrightarrow$ $a,b \vdots 19$

Подставляя $a=19*a_{1}$ и $b=19*b_{1}$

У нас получится $2014*(c^3+2*d^3)=19^{3}*(a_{1}^3 + 2* b_{1}^3)$

$\Rightarrow$ $c^3+2*d^3 \vdots 19$ $\Rightarrow$ $c=19*c_{1}$ $d=19*d_{1}$

$\Rightarrow$ $2014*(c_{1}^3+2*d_{1}^3)=a_{1}^3+2*b_{1}^3$

И так далее методом бесконечного спуска находим $a,b,c,d=0$ что противоречит условию