22-я Балканская математическая олимпиадаЯссы, Румыния, 2005 год

Найдите все простые числа $p$, для которых число $p^2-p+1$ является точным кубом.

Комментарий/решение

$p^2-p+1=q^3$ $\Longleftrightarrow$ $p(p-1)=(q-1)(q^2+q+1)$

Следовательно $p(p-1)$ делится на $(q-1)$

Но $(p,p-1)=1$ поэтому $p$ делится на $(q-1)$ или $(p-1)$ делится на $(q-1)$

Но $p >q$ поэтому $(p-1)$ делится на $(q-1)$

Следовательно $(p-1)=k*(q-1)$ $(k \in \mathbb Z)$

Мы имеем $q^2+(1-k^2)q+(k^2-k+1)=0$ откуда $k^4-6k^2+4k-3$ полный квадрат

Но $(k^2-3)^{2} \leq k^4-6k^2+4k-3<(k^2-1)^{2}$

Поэтому нам легко увидеть решение $k=3$ тогда мы имеем $(p,q)=(19,7)$

Из того, что $p(p-1)$ делится на $q-1$ не следует, что одно из них делится на $q-1.$

Например $7-1\mid 3\cdot (3-1)$