Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс

Докажите, что для любого натурального $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.

Комментарий/решение

b_Лемма:_b Для любого натурального $n$ найдутся $n$ последовательных составных натуральных чисел.

b_Доказательство:_b Рассмотрим $n$ последовательных натуральных чисел: $(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + (n + 1)$.

$(n+1)!+k \, \vdots \, k$, где $k=2,3,\ldots,n+1$, значит числа $(n+1)!+k$ - составные.

Рассмотрим наименьшее простое число $p$, большее всех этих чисел. Тогда числа $p-n+1, p-n+2, \ldots, p-1, p$ – искомые.