Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Даны действительные числа $a,b,c > 1$. Докажите неравенство $a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a.$ ( Ким А. )

Комментарий/решение

Пусть $c=min \{a,b,c\} $ тогда

$a^a+b^b+c^c \ge a^b+b^a+c^c \ge a^b+b^c+c^a$

Решение. Т.к. неравенство циклическое, рассмотрим два случая. $a≥b≥c=> a^a+b^b+c^c≥a^b+b^a+c^c≥a^b+b^c+c^a$. $b≥a≥c=>a^a+b^b+c^c≥a^c+b^b+c^a≥a^b+b^c+c^a$.

Пусть $x\ge y\ge1, z\ge t\ge1$, тогда $x^z-x^t=x^z(x^{z-t}-1)\ge y^z(y^{z-t}-1)=y^z-y^t\Leftrightarrow x^z+y^t\ge y^z+x^t$. Заметим, что полученное неравенство симметричное, поэтому условие $a\ge b$ не важно. Без ограничения общности $c$ - наименьшее из данных чисел.\[a^a+b^b+c^c \ge a^b+b^a+c^c \ge a^b+b^c+c^a\]