Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1998 год

Пусть $ABC$ — треугольник и $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Пусть $E$ и $F$ — точки на прямой, проходящей через $D$ таким образом, что прямая $AE$ перпендикулярна $BE$, $AF$ перпендикулярна $CF$, $E$ и $F$отличны от $D$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BC$ и $EF$ соответственно. Докажите, что прямая $AN$ перпендикулярна $NM$.

Комментарий/решение

Заметим что $E$ и $F$ лежат на окружностях построенных на $AB$ и $AC$ как на диаметрах. Отсюда $\angle ABC=\angle AEF$ и $\angle ACB=\angle AFE$ значит $\triangle ABC \sim \triangle AEF$. Отсюда в силу того что $AN$ и $AM$ соответствующие медианы в подобных треугольниках получаем: $\angle ANE = \angle AMB$ значит точки $A, N, D, M$ лежат на одной окружности следовательно $\angle ANM=\angle ADM=90$

можно и так: заметим, что $А$ - центр поворотной гомотетии, переводящей $C$ в $B$, $F$ - в $E$, причем $\angle CFA=90$, а поскольку середину $CB$ оно переводит в середину $FE$, получаем, что $\angle MNA=\angle CFA=90$