1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига


Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $D$, а точка $M$ — середина этой стороны. Докажите, что точка $M$, центр вписанной окружности и середина отрезка $CD$ лежат на одной прямой.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
2017-03-19 14:40:00.0 #

Возмём точек $D'$ симметрична точку $D$ относительно точке $М$. Затем используем тэорему Фалеса для треугольника $CIB_{A}$ и $ CI_{C}B_{A'}$,где $B_{A}$ точка касанья на стороне $СА$, $I_{C}$ центр вневписанной окружности касаюшие стороны $АВ$, $В_{А'}$ точка касанья вневписанной окружности на стороне $СА$.

Еще тэорему Фалеса для треугольника $СDD'$, $M'$ середина точка СD