1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл
Комментарий/решение:
$$\left\{ \begin{gathered} a + 2b = x \\ b + 2c = y \\ c + 2a = z. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$
$$\Rightarrow a=\frac{x-2y+4z}{9},b=\frac{y-2z+4x}{9},c=\frac{z-2x+4y}{9}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow \frac{c}{a+2b}+\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}=$$
$$=\frac{x-2y+4z}{9x}+\frac{y-2z+4x}{9y}+\frac{z-2x+4y}{9z}=$$
$$\frac{1}{9}\cdot \left( \frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\cdot \left( \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\geq$$ $$\geq \frac{1}{3}\cdot \sqrt[3]{ \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{y}{z}}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\cdot \sqrt[3]{ \frac{x}{z}\cdot \frac{z}{y}\cdot \frac{y}{x}}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=1$$
$(\frac{c}{a+2b} + \frac{b}{c+2a} + \frac{a}{b+2c})((a+2b)c+(c+2a)b+(b+2c)a)$ $\geq (a+b+c)^2$
$\frac{(a+2b)c+(c+2a)b+(b+2c)a}{(a+b+c)^2}$ $\geq 1$
В последней строчке ошибка. Там должно быть
$\dfrac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)} \geq 1$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.