1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига


Для любых положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$ докажите неравенство $\dfrac{c}{{a + 2b}} + \dfrac{a}{{b + 2c}} + \dfrac{b}{{c + 2a}} \geq 1.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2017-01-26 21:00:24.0 #

$$\left\{ \begin{gathered} a + 2b = x \\ b + 2c = y \\ c + 2a = z. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow a=\frac{x-2y+4z}{9},b=\frac{y-2z+4x}{9},c=\frac{z-2x+4y}{9}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{c}{a+2b}+\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}=$$

$$=\frac{x-2y+4z}{9x}+\frac{y-2z+4x}{9y}+\frac{z-2x+4y}{9z}=$$

$$\frac{1}{9}\cdot \left( \frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\cdot \left( \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\geq$$ $$\geq \frac{1}{3}\cdot \sqrt[3]{ \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{y}{z}}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\cdot \sqrt[3]{ \frac{x}{z}\cdot \frac{z}{y}\cdot \frac{y}{x}}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=1$$

  2
2017-03-19 14:55:08.0 #

Используем формулу Коши в лоб, тогда левая часть больше и равно $(a+c+b)^2$. А это у нас итак больше и равно $3(ab+ac+bc)$. Это просто $ A.M >_- G.M$