Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 9 класс

Решить уравнение $x^2-y^2-x+y=10$ в натуральных числах.

Комментарий/решение

$$x^2-y^2-x+y=(x-y)(x+y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)=2*5$$

$x-y=2$

$x+y-1=5$

$x=4$ $y=2$

Вместо $a*b$ можно использовать \cdot получим $a\cdot b$.

$(6;5)$ деген де шешімі бар.

Как и указал первый автор решение, там можно 10 взять ещё и как 10 • 1;

х - у = 1

х + у - 1 = 10

И тем самым получим ответы (6;5)

$Возьмём \: x+y=a; x-y=a-2y \: то \: тогда:$

$(x+y)(x-y)-x+y=10$

$a(a-2y)-a=10$

$a(a-2y-1)=10$

$Далее \: возникает \: 4 \: случая:$

$a(a-2y-1)=10 \cdot 1 \: (a=10; 1 , a-2y-1=1; 10)$

$a(a-2y-1)=5 \cdot 2 \: (a=5; 2 , a-2y-1=2; 5)$

$I) \: a=10, \: a-2y-1=1$

$x+y=10, \: x-y-1=1$

$x=y, \: x=y=5$

$10 \cdot 0 - 10≠10$

$ Значит \: x≠y≠5$

$II) \: a=1, \: a-2y-1=10$

$Этот \: случай \: невозможный \: т.к. \: x,y= \mathbb{N} \: и \: x+y \ge 2$

$III) \: a=5, \: a-2y-1=2$

$x+y=5$

$x-y=3$

$2x=8$

$x=4, \: y=1$

$IV) \: a=2, \: a-2y-1=5$

$И \: этот \: случай \: невозможный \: т.к. \: значит \: x+y=2 x=y=1 \: а \: x≠y \: т.к.: \: 2x \cdot 0 - 2x=10 \rightarrow -2x=10 \rightarrow x=-5≠ \mathbb {N}$

$Значит \: ответ: \: x=4, \: y=1$

$x^2-y^2-x+y=(x-y)(x+y-1)=10$

Заметим что 10=2×5=10×1

делаем перебор вариантов (их всего 2) и узнаем ответы: (6;5), (4;2).