2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл

Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышында $AD=BC+EF$, $BE=AF+CD$, $CF=DE+AB$ екені белгілі. Онда $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{CD}{AF}=\dfrac{EF}{BC}$ екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Проведем через точки $B,E$ прямые, параллельные к $CF,AD$ соответственно, пусть они пересекаются в точке $I$, проведем через точки $A,F$ аналогично прямые параллельные $DE,BC$, пусть они пересекают $IE,IB$ в точках $G,H$. Откуда получаем что $AB+DE=AB+AG=BH$ так же как и $EF+BC=EF+FH=EG$ учитывая что $AB+AG \geq BG$ аналогично и со вторым, откуда требуется найти такое расположение что $BH \geq BG , \ EG \geq EH $ которая возможно только в случае $G,H=I$ , откуда $A \in BI , \ F \in EI$ , аналогично и с остальными двумя. Значит такое возможно в случае $AB || DE , \ CD || AF , \ FE || BC$ откуда треугольники $HAF, HBE$ подобны и $AH=DE , HF=BC$ или $\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{EF}{HF} = \dfrac{AF}{CD}$ подставляя получаем нужное.

Лемма: Пусть $ABCD$ — произвольный четырехугольник. Обозначим

$a,b,c,d$ это стороны и $e,f$ диагонали, тогда $a^{2}+c^{2}+2bd\geq e^{2}+f^{2}$.

Доказательство: Обозначим $M, N, P$ средние точки $BC, AD, BD$, из

неравенство треугольника $MN\leq MP+NP$ или $2MN\leq b+d$. Мы будем

помните теорему Эйлера для четырехугольника и середины противоположного

стороны или диагонали: $b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}=a^{2}+c^{2}+4MN^{2}\leq a^ {2}+c^{2}+(b+d)^{2}$. Равенство имеет место, когда $BC \parallel AD$ и наша лемма

доказал.