Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 8 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a, b, c$ выполнено неравенство $a^2+b^2+c^2+12\geq 4(a+b+c)$.

Комментарий/решение

Теңсіздікті шешу үшін АО$\ge$ГО теңсіздігін қолданамыз:

$a^2+4\ge2\sqrt{4a^2}=4a$

$b^2+4\ge2\sqrt{4b^2}=4b$

$c^2+4\ge2\sqrt{4c^2}=4c$

осы үш теңсіздікті қоссақ:

$a^2+4+b^2+4+c^2+4=a^2+b^2+c^2+12\ge4(a+b+c)$

о да, моя любимая теорема АО $\geq$ ГО

$$a^2+b^2+c^2+12\geq 4a+4b+4c$$

$$a^2+b^2+c^2+4+4+4-4a-4b-4c\geq0$$

$$a^2-4a+4+b^2-4b+4+c^2-4c+4\geq0$$

$$(a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2\geq0$$