6-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2010 год


Найдите все простые числа $p$, $q$ такие, что $p^3-q^7=p-q$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-10-24 18:06:52.0 #

Разложив на множители

$p(p-1)(p+1) = q(q-1)(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$ левая часть равенство имеет только один множитель $3$ так как три последователен числа, а правая больше одной при $q >3$ потому что $q(q-1)(q+1)$ три последовательных числа , а один из $q(q-1), \ q(q+1)$ будет иметь остаток $2$ по $\mod \ 3$ если $q \ne 3$, значит решение только единственно при $q=3$ откуда $p=13$.