8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год

Найдите все целочисленные решения уравнения: $2x^2 - y^{14}=1.$

Комментарий/решение

$$2x^2-y^{14}=(\sqrt{2}\cdot x-y^7)(\sqrt{2}\cdot x+y^7)=1\cdot1=(-1)\cdot (-1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$$

$$1)\left\{ \begin{gathered} \sqrt{2}\cdot x-y^7= 1\\ \sqrt{2}\cdot x+y^7=1. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow x\notin \mathbb{Z}$$

$$2)\left\{ \begin{gathered} \sqrt{2}\cdot x-y^7= -1\\ \sqrt{2}\cdot x+y^7=-1. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow x\notin \mathbb{Z}$$

$$3)\left\{ \begin{gathered} \sqrt{2}\cdot x-y^7=\sqrt{2}-1 \\ \sqrt{2}\cdot x+y^7=\sqrt{2}+1. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow x=1, y=1$$

$$4)\left\{ \begin{gathered} \sqrt{2}\cdot x-y^7=\sqrt{2}+1 \\ \sqrt{2}\cdot x+y^7=\sqrt{2}-1. \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow x=1, y=-1$$

$$5)\left\{ \begin{gathered} \sqrt{2}\cdot x-y^7=-(\sqrt{2}+1) \\ \sqrt{2}\cdot x+y^7=-(\sqrt{2}-1). \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow x=-1, y=1$$

$$6)\left\{ \begin{gathered} \sqrt{2}\cdot x-y^7=-(\sqrt{2}-1) \\ \sqrt{2}\cdot x+y^7=-(\sqrt{2}+1). \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow x=-1, y=-1$$

решение довольно легкое если знать раскрытие $2x^2=(y^2+1)(y^{12}-y^{10}+y^8-y^6+y^4-y^2+1)$ Докажем что они взаимнопросты

Пусть $(y^2+1)$ делится на $p$ пусть они не взаимнопросты $y^{12}+y^{10}+y^8+y^6+y^4+y^2$ делится на $p$

тогда $2y^{10}+2y^6+2y^2-1$ делится на $p$

тогда $2y^8-2y^6-2y^2+1$ делится на $p$

$4y^6+2y^2-1$ делится на $p$

$4y^4-2y^2+1$ делится на $p$

$6y^2-1$ делится на $p$

тогда $7$ делится на $p$ но $p$ не может быть такого вида по теореме Жерара тогда они взаимнопростые квадраты но $y^2+1$ не может равняться квадрату тогда он равняется двойке так только в этом случае он не делится на $p=4k=1$ тогда ответы $x,y=\pm 1,\mp 1$

1) вы не пояснили откуда вы взяли выражения по типу $2y^{10}+2y^6+2y^2-1$ делится на $p$ и вообще откуда вы получили конечное выражение

2) Откуда вы взяли что 7 кратно $p$ и вообще зачем тогда использовать теорему Жирара ибо сразу тогда понятно что $p$ это 7

3) На основании чего вы говорите что у последнего многочлена который вы получили не будет простых делителей вида $4k+1$? На основании теоремы Жирара? Само определение этой теоремы не имеет с этим ничего общего. Может быть оно к сводится к тому благодаря каким то преобразованиям если так, то напишите пожалуйста.

Специально для вас $(y^{12}+y^{10}+y^8+y^6+y^4+y^2)-(y^{12}-y^{10}+y^8-y^6+y^4-y^2+1)$ и делаем аналогично умножая $y^2+1$ и отнимая

Делая эту операцию несколько раз получается что они не взаимно просты только в случае $p=7$

Поясняюсь я брал любой их простой делитель не обязательно $4k+1$ мой косяк потом по теореме Жерара у нас $y^2+1$ не может иметь делитель $7$ откуда они простые

Я брал типо $(y^2+1)$ и $(y^{12}-y^{10}+y^8-y^6+y^4-y^2+1)$ они не вазимнопросты

Надеюсь вам теперь стало понятно