8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год


На диагоналях выпуклого четырехугольника $ABCD$ построены правильные треугольники $ACB'$ и $BDC'$, причем точки $B$ и $B'$ лежат по одну сторону от $AC$, а точки $C$ и $C'$ лежат по одну сторону от $BD$. Найдите $\angle BAD+\angle CDA$, если известно, что $B'C'=AB+CD$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
2018-04-04 15:44:16.0 #

Пусть $AB∦CD$ и точка $O \in AB \cap CD$, докажем что при таком построений, равенство $AB+CD=B'C'$ будет выполнятся тогда, когда $O \in B'C'$.

1) Пусть $E \in AB' \cap B'C'$ и $F \in B'C \cap C'D$ так же $G \in AC \cap BD$ , тогда $\angle EBG = 180^{\circ}-\angle DB'C = 120^{\circ}$ то есть $AEBG$ вписанный как и $DGCF$ тогда если $O \in B'C'$ получаем что $G \in EF$ так как $\angle B'AO = \angle EAB = \angle EGB = \angle DGF = \angle DCF = \angle B'CO$ откуда $B'OCA$ вписанный, аналогично $DGOC'$ откуда $\angle B'OC + \angle COC' = 120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$ значит $O \in B'C'$.

2) Тогда по (ТЕОРЕМЕ ПОМПЕЮ) для вписанного правильного треугольника $AB'C$ получаем $AO=B'O+OC$ или $AB+BO=B'O+OC$ аналогично и для $DBC'$ получаем $CD+OC = BO+OC'$ откуда суммируя $AB+CD = OC'+OB' = B'C'$.

Значит $\angle AOD = 180^{\circ}-120^{\circ} = 60^{\circ}$ откуда $\angle CDA + \angle BAD = 120^{\circ}$