8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год

Существуют ли целые числа $m$, $n$ и функция $f\colon \Bbb R \to \Bbb R $, одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям (здесь $ \Bbb R $ обозначает множество действительных чисел):
i) $f(f(x))=2f(x)-x-2$ для любого $x\in \Bbb R $;
ii) $m\leq n$ и $f(m)=n$?

Комментарий/решение

Допустим что найдется такой целый $a$ для которого$:$

$f(a)=a+k, k \in Z^+ \cup 0$

Тогда$:$

$$$$

Возьмем такие $x$ и $y:$

$f(x)=f(y)=c$

$f(c)=2c-x-2=2c-y-2 \Rightarrow x=y$

$f -$ инъективная $(1)$

$$$$

$P(a) \Leftrightarrow (a)$

$f(a+k)=2a+2k-a-2$

$f(a+k)=a+2k-2$

$P(a) \Leftrightarrow (f(a))$

$f(f(a+k))=2a+4k-4-a-k-2=a+3k-6$

$a+k= a+(1 \times k) - (1\times 0)$

$f(a+k)=a+(2\times k) -( 2 \times 1)$

$f(f(a+k))=a+(3\times k)-(3 \times 2)$

Допустим что:

Для всех чисел меньших $b+1$ выполняется$:$

$f^{(i)}(a+k)=a+((i+1)\times k) -(i^2+i)$ $(2)$

$f^{(i)}(a+k) \Rightarrow \underbrace {f(f( \ldots f(a+k) \ldots ))}_{i \text{ раз}}$

Тогда$:$

$f^{(b+1)}(a+k)=2f^{(b)}(a+k)-f^{(b-1)}(a+k)-2$

$f^{(b+1)}(a+k)=2(a+bk+k-b^2-b)-(a+bk-b^2+b)-2=a+bk+2k-(b^2+3b+2)$

$f^{(b+1)}(a+k)=a+((b+2)\times k) -((b+1)^2+b+1)$

Значит по $(2):$

Если выражения выполнятся для $b$ и $b-1$ то также выполняется и для $b+1$

А поскольку оно выполняется для $2$ и $3$, то выполняется и для всех остальных натуральных чисел

Теперь перезапишем то что имеем$:$

$$$$

$f^{(b)}(a+k)=a+((b+1)(k-b))$

Если$:$

$k \geq 1$

То$:$

Найдется $b$ для которого$:$

$f^{(b)}(a+k)=a; (b=k)$

По $(1):$

$f^{(b+1)}(a+k)=a+k$

Но по $(2):$

$f^{(b+1)}(a+k)=a-k-2$

Значит$:$

$k=-1 \Rightarrow \varnothing$

Из чего$:$

$k=0$

$f(f(a))=2f(a)-a-2$

$a=a-2 \Rightarrow \varnothing$

Значит$:$

Ну существует такой функции $f\colon \Bbb R \to \Bbb R$ что$:$

$f(f(a))=2f(a)-a-2$ и $m\leq n; f(m)=n$

Ответ: Нет, не существует