Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1991 год

$G$ — центр тяжести треугольника $ABC$, $M$ — середина стороны $BC$. Точки $X$ и $Y$ выбрали на сторонах $AB$ и $AC$ так, что $XY$ параллельно $BC$ и точки $X,Y,G$ лежат на одной прямой. $XC$ и $GB$ пересекаются в точке $Q$, а $YB$ и $GC$ — в точке $P$. Докажите, что треугольники $MPQ$ и $ABC$ подобны.

Комментарий/решение

$\triangle ABC$ гомотетичен $\triangle AXY \Rightarrow XG=YG.$

$E,F,K,L - $ середины $CA,AB,YG,XG$ соответственно. По замечательному свойству трапеции для $GYCB$ и $GXBC$: четверка точек $E,K,P,M$ - коллинеарная, $F,L,Q,M$ - также. $ME,MF$ - средние линии, тем самым $MP||AB,MQ||AC$. Остается доказать соотношение $\frac{MQ}{QL}=\frac{MP}{PK}$, что следует из подобия $\triangle CQM \sim \triangle XQL; \triangle BPM \sim \triangle YPK:$

$$\frac{MQ}{QL}=\frac{MC}{LX}=\frac{MB}{KY}=\frac{MP}{PK}$$

Поэтому $PQ||XY||BC$. Тогда у треугольников $ABC$ и $MPQ$ соответственные стороны параллельны, что говорит о подобии и гомотетичности.