Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1995 год

Найдите все последовательности вещественных чисел $a_1, a_2, \dots , a_{1995}$ удовлетворяющие неравенствам: $2\sqrt{a_n-(n-1)}\geq a_{n+1}-(n-1) $ и $2\sqrt{a_{1995}-1994} \geq a_1+1.$

Комментарий/решение

Сначала докажем неравенство:

$a_{n+1}-(n-1) \geq 2\sqrt{a_{n+1}-n}$

Заметим:

$a^2+b^2 \geq 2ab$

$a^2=a_n-n, b^2=1$

Значит:

$\sqrt{a_1} \geq \sqrt{a_2-1} \geq \dots \geq \sqrt{a_{1995}-1994}\geq \sqrt{a_1}$

Значит:

$\sqrt{a_1} = \sqrt{a_2-1} = \dots = \sqrt{a_{1995}-1994} = \sqrt{a_1}$

$a_1 = a_2-1 = \dots = a_{1995}-1994$

$a+1 \geq 2\sqrt{a_1} $

$2\sqrt{a_1}=2\sqrt{a_{1995}-1994} \geq a+1$

$a+1 = 2\sqrt{a_1}$

Случай равенства достигается при $a_1=1$

Ответ: $(a_1,a_2, \dots ,a_{1995}) \rightarrow (1,2, \dots ,1995)$